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La logica nella matematica
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La logica nella matematica

  

NOME: Introduzione al calcolo combinatorio

 

DIMENSIONI: piccoli oggetti manipolabili

 

MATERIALI: monete, gettoni, dadi, biglie colorate, tessere colorate, sacchetti non trasparenti

 

OBBIETTIVI

  • Operare con gli insiemi

  • Riconoscere e applicare relazioni fra gli elementi di due insiemi o più insiemi

  • Applicare la corrispondenza biunivoca fra due insiemi

  • Stabilire con la manipolazione il numero totale di gruppi che si possono formare con un dato numero di oggetti.

  • Elaborare e rappresentare graficamente dati.

  • Interpretare dati e operare scelte in situazioni di incertezza

 

RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI:  Conto e ragiono senza problemi di j. Bickel e D. Leporatti pag.

 

USO:

Giochi di combinazioni

 

1) Diamo ad ogni bambino un sacchetto contenente gettoni di due colori diversi, es. gialli e rossi, chiediamo a ciascun alunno di prendere un gettone e poi un altro, disponendoli sul banco in ordine di estrazione. Dopo avere estratto altre coppie facciamo eliminare le combinazioni già presenti, rimarranno solo gli abbinamenti G – R e R – G.

 

Aggiungiamo quindi agli elementi già nel sacchetto altri di un terzo colore, ad esempio blu.

Si procede come nell’attività precedente estraendo, in rapida successione, elementi a due a due e disponendoli sul banco in ordine di estrazione.

 

Chiediamo: “Quante coppie diverse posso ottenere?”

 

Dopo aver lasciato il tempo necessario ai bambini per provare più volte rappresentiamo alla lavagna le combinazioni dopo aver tolto quelle ripetute più di una volta.

 

Otteniamo:

G R R V V R

R G G V V B

Con tre elementi si ottengono 6 combinazioni.

 

Chiediamo

Quante ne otterremmo con 4 possibilità?

 

A questo punto sarà necessario dare ai bambini un “modello verbale” per individuare più velocemente gli abbinamenti e aggiungere il nuovo elemento ad una rappresentazione grafica di questo tipo:

 

Inserire diagramma

 

Rilevando così che le coppie possibili sono 12.

 

2) Problematizzare situazioni che possano sorgere in classe o in momenti di vita ordinaria.

 

Es. per una gita scolastica bisogna fissare il pranzo presso un agriturismo, i partecipanti possono scegliere tra le seguenti alternative:

 

Primi piatti:spaghetti al pomodoro-pasta al forno

Secondi piatti: pollo arrosto-cotoletta

Frutta: mela-pera

 

I tre insiemi preventivamente disegnati su cartoncino dall’insegnante, vengono presentati agli alunni e viene chiesto a ciascuno di scegliere la combinazione preferita. L’insegnante “serve” l’ordinazione porgendo i tre cartoncini prescelti. Si osserva poi quanti alunni hanno fatto la stessa scelta e quante scelte diverse sono state fatte dopo aver scartato le combinazioni uguali. Si chiede se sono state fatte tutte le combinazioni possibili. Quindi si stimolano gli alunni chiedendo se è possibile verificare senza fare ripetizioni e senza tralasciare alcuna possibilità. Proponiamo agli alunni la struttura di un diagramma ad albero e di utilizzarlo inserendo i dati in loro possesso. Costruiamo insieme il grafico incollando in alto i primi due cartellini, raffiguranti i primi piatti, poi proseguiamo nella realizzazione della struttura continuando ad incollare cartoncini, verbalizzando le scelte. Al termine il diagramma apparirà così:

 

 

Inserire diagramma

 

Le otto scelte possibili saranno:

 

Spaghetti-pollo-mela Pasta al forno-pollo-mela

Spaghetti-pollo-pera Pasta al forno-pollo-pera

Spaghetti-cotoletta-mela Pasta al forno-cotoletta-mela

Spaghetti-cotoletta-pera Pasta al forno-cotoletta-pera

 

 

Proponendo altre situazioni di questo tipo variando ogni volta il tipo e il numero delle scelte gli alunni arriveranno a ricavare la regola per calcolare il numero delle combinazioni senza la rappresentazione grafica. Nel caso specifico il numero 8 si ottiene moltiplicando tra loro il numero delle scelte di ogni categoria. 2 X 2 X 2 = 8

Come alternativa o proseguimento dell’attività si può proporre agli alunni di descrivere o inventare situazioni problematiche risolvibili con la ricerca di tutte i casi possibili.

 

 

I percorsi combinati

Dividiamo i bimbi in gruppi, dando a ciascun gruppo una griglia apposita e dei gettoni di due diversi colori.

Fissiamo sul primo foglio un punto di partenza ed uno di arrivo: A è in alto a destra rispetto a P. Si chiede ad ogni gruppo di individuare e rappresentare con i gettoni tutti i possibili percorsi da P ad A dando le seguenti istruzioni:

un passo a destra gettone rosso

un passo verso l’alto gettone verde

 

Cominciamo insieme:

 

partendo da P posso fare per ogni mossa:

  1. un passo verso l’alto o un passo a destra

  2. un passo a destra o uno in alto, indipendentemente da come è stata effettuata la prima mossa

 

si prosegue così fino all’arrivo.

 

Prendiamo come esempio un percorso che richieda un minimo di 5 passi minimo e utilizzando come legenda:

 

Scriviamo tutte le mosse possibili utilizzando: D = destra A = alto

Otterremo:

DDDAA DAADD ADADD

AADDD ADDDA ADDAD

DDAAA DADDA DADAD

Va fatto notare che comunque in ogni combinazione sono presenti tre passi a destra e due verso l’alto.

Chiediamo agli alunni di rappresentare graficamente la situazione sempre sulla griglia predisposta sostituendo ai gettoni frecce di due colori. In seguito si può proporre la rappresentazione con un diagramma ad albero.

 
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